L' INSIEME DEI NUMERI NATURALI
CHE COS' E' LA MATEMATICA?
La matematica (dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento" è la disciplina che studia le quantità (i numeri), lo spazio, le strutture e i calcoli.
Per l'origine del termine occorre andare al vocabolo egizio maat, nella cui composizione appare il simbolo del cubito, strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico.
Col termine matematica di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).
I NUMERI
I numeri naturali sono i numeri utilizzati per contare: 0,1,2,3,...,10,...100,...498,...
Molti matematici li hanno intesi come termini primitivi, successivamente è stato proposto di: - derivarli dagli insiemi (Georg Cantor) - costruirli a partire da altri termini primitivi (Giuseppe Peano)
Le due costruzioni dell' insieme dei numeri naturali ne evidenziano i due aspetti di significato: - aspetto cardinale:il numero indica quanti sono gli elementi di un insieme senza tene conto di che cosa, indica una quantità. - aspetto ordinale: il numero indica il posto occupato il dato elemento in un insieme ordinato.
ASPETTO CARDINALE
In matematica, i numeri cardinali sono una generalizzazione dei numeri naturali utilizzati per indicare la grandezza di un insieme. Mentre per gli insiemi finiti la grandezza è indicata da un numero naturale, e cioè il numero di elementi, i numeri cardinali (la cardinalità) classificano oltre a questi anche diversi tipi di infinito. Da un lato è possibile che un sottoinsieme proprio di un insieme infinito abbia la stessa cardinalità dell'insieme che lo contiene, d'altra parte non è detto che tutti gli insiemi infiniti abbiano la stessa grandezza. Esiste una caratterizzazione formale di come alcuni insiemi infiniti siano più piccoli di altri insiemi infiniti. Il concetto di cardinalità è utilizzato in molte branche della matematica, ed è anche studiato nella teoria degli insiemi, particolarmente per descrivere le proprietà dei grandi cardinali.
ASPETTO ORDINALE
In aritmetica, numero che indica il posto che un ente ha in una successione, il cosiddetto numero d'ordine (primo, secondo ecc., oppure 1°, 2° ecc., o I, II ecc.). Teoria dei numeri ordinali Teoria matematica dovuta a G. Cantor (1897), parallelamente a quella dei numeri cardinali, come parte integrante della sua teoria degli insiemi; si ricollega a quella dell'ordinamento.
L'INSIEME N
Il primo insieme che prenderemo in esame è l' insieme dei numeri naturali. Esso si indica con la lettera N e i suoi elementi sono i numeri interi positivi, i primi numeri, storicamente, ad essere stati usati dall'umanità. Ci sono varie proprietà dell' insieme N: - è infinito, infatti, preso un qualunque numero naturale, se ne può trovare uno maggiore: il successivo; - è ordinato ,infatti, dati due numeri naturali, è sempre possibile stabilire se l'uno è minore, maggiore o uguale dell'altro; - - - - possiede un elemento minimo, cioè un elemento minore di tutti gli altri numeri naturali:lo zero; - non possiede invece un elemento massimo, cioè un elemento maggiore di tutti gli altri numeri - tra ogni coppia di numeri consecutivi non è compreso alcun numero naturale : questa proprietà si esprime dicendo che N è un insieme discreto.
LE OPERAZIONE IN N
Addizione: quando si addizionano due numeri: -i due numeri si chiamano addendi -il risultato dell'addizione si chiama somma.
Moltiplicazione: quando si moltiplicano due numeri: -i due numeri si chiamano fattori -il risultato della moltiplicazione si chiama prodotto.
Sottrazione: quando si sottrae da un primo numero un secondo numero: -il primo numero si chiama minuendo -il secondo numero si chiama sottraendo -il risultato della sottrazione si chiama differenza.
Divisione: quando si divide un primo numero per un secondo numero: -il primo numero si chiama dividendo -il secondo numero si chiama divisore -il risultato della divisione si chiama quoziente.
Le proprietà delle quattro operazioni
L'addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà:
Commutativa: stabilisce che la somma o il prodotto di due numeri naturali non muta se si cambia l'ordine degli addendi o dei fattori. 3+4=4+3 3x4=4x3 Associativa: stabilisce che la somma o il prodotto di tre numeri naturali non cambia comunque si associno due degli addendi o dei fattori. 5+(7+2)=(5+7)+2 5x(7x2)=(5x7)x2
Distributiva: stabilisce che se si deve moltiplicare un numero per una somma si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo per poi addizionare i prodotti ottenuti.
3x(4+7)=3x4+3x7
La sottrazione e la divisione godono delle proprietà:
Invariantiva della sottrazione: stabilisce che la differenza tra due numeri naturali non cambia se si aggiunge o si sottrae a entrambi uno stesso numero, purché la sottrazione sia possibile in N.
7-5=(7+2)-(5+2) 7-5=(7-2)-(5-2)
Invariantiva della divisione: stabilisce che il quoziente di due numeri non cambia se entrambi si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero diverso da 0, purché la divisione sia possibile in N.
9:3=(9x2):(9x2) 12:6=(12:3): (6:3)
Distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione:
2x(7-5)x2=7-2x5 (7-5)x3=7x3-5x3)
Distributiva a destra della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione:
(9+3):3=9:3+3:3 (8-6):2=8: 2-6:2
L'insieme Z
L'insieme Z è formato dall'unione tra l'insieme N (numeri naturali) e dall'insieme N- (numeri interi negativi).
L'insieme R
Gli elementi dell'insieme R sono tutti numeri positivi e negativi, incluso lo zero. Infatti, l'insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme Z dei numeri interi relativi che a sua volta è un sottoinsieme dell'insieme Q, il quale è sottoinsieme di R.
L'insieme Q
L'insieme Q è costituito dall'unione tra l'insieme Q+ (numeri razionali assoluti) e l'insieme Q- (numeri razionali negativi).